درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی
درس 2: تابع درجه سوم، توابع یکنوا و بخشپذیری و تقسیم
فرض کنید $n$ یک عدد صحیح منفی و ${a_0}$، ${a_1}$، ${a_2}$، .... ، ${a_{n - 1}}$ و ${a_n}$ اعداد حقیقی باشند که ${a_n} \ne 0$. تابع $f(x)$ که بهصورت زیر تعریف میشود، تابع چند جملهای از درجه $n$ نامیده میشود.
$f(x) = {a_n} + {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}$
تابع ثابت $f(x) = c$، یک تابع چند جملهای از درجه صفر و تابع خطی $f(x) = mx + b$ که $m \ne 0$، یک تابع چند جملهای از درجه یک است. به همین ترتیب یک سهمی به معادله $f(x) = a{x^2} + bx + c$ یک تابع چند جملهای از درجه دو است.
کار در کلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
در زیر چند تابع چند جملهای نوشته شدهاند. درجه هر کدام را مشخص کنید.
$f(x) = 2x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,h(x) = {x^3} + x - 4\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,n(x) = 2x - {x^4}$
$g(x) = {(x - 1)^2} + 3\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,m(x) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,p(x) = {x^2}{(1 - x)^3}$
فعالیت (صفحه 14 کتاب درسی)
یکی از توابع چند جملهای درجه سه، تابع $f(x) = {x^3}$ است.
1) با تکمیل جدول زیر، نمودار تابع $f(x) = {x^3}$ را رسم کنید.
| $y = {x^3}$ | $x$ |
| ${( - 2)^3} = - 8$ | 2- |
| 1- | |
| ${( - \frac{1}{2})^3} = - \frac{1}{8}$ | $ - \frac{1}{2}$ |
| 0 | 0 |
| $\frac{1}{2}$ | |
| 1 | 1 |
| 2 |
2) به کمک نمودار رسم شده برای تابع $f(x) = {x^3}$، نشان دهید که این تابع وارونپذیر است.
3) نمودار تابع ${f^{ - 1}}$ را رسم کنید و ضابطه ${f^{ - 1}}$ تعیین کنید.
کار در کلاس (صفحه 14 کتاب درسی)
1) نمودار هر یک از توابع زیر را به کمک نمودار تابع $y = {x^3}$ را رسم کنید.
$y = {(x + 1)^3}$ (الف
$y = - {x^3} + 1$ (ب
$y = {x^3} - 3{x^2} + 3x$ (پ
2) نمودار هر یک از توابع $y = {x^2}$ و $y = {x^3}$ در فاصله $\left[ {0,2} \right]$ رسم شده است.
در فاصله $\left[ {0,1} \right]$، نمودار کدام تابع پایینتر و نمودار کدام تابع بالاتر است؟ در فاصله $\left[ {1,2} \right]$ چطور؟
توابع صعودی و توابع نزولی
فعالیت (صفحه 15 کتاب درسی)
تنفس هوای پاک در شهرهای صنعتی یکی از آرزوهای ساکنین این شهرهاست. بر اساس شاخص کیفیت هوا (AQI)، کیفیت هوای یک منطقه، یکی از وضعیتهای پاک، سالم، ناسالم برای گروههای حساس، ناسالم، بسیار ناسالم و خطرناک میباشد. نمودار زیر، میانگین شاخص کیفیت هوا در 15 روز پایانی دی ماه سال 1395 در شهر تهران را نشان میدهد.
الف) شاخص کیفیت هوا در چه فاصلههای زمانی روبه افزایش بوده است؟
ب) شاخص کیفیت هوا در چه فاصلههای زمانی روبه کاهش بوده است؟
پ) این شاخص در چه فاصله زمانی ثابت بوده است؟
دامنهٔ تابع $f$ در شکل زیر دیده میشود، بازه $\left[ {1,8} \right]$ است. در بازه $\left[ {1,3} \right]$، همزمان با افزایش $x$، نمودار تابع روبه بالا میرود. به همین خاطر به تابع $f$ در بازه $\left[ {1,3} \right]$ صعودی میگوییم. در بازه $\left[ {3,4} \right]$ مقدار تابع ثابت است.
در ادامه و در بازه $\left[ {4,8} \right]$، همزمان با افزایش $x$، نمودار تابع روبه پایین میرود و به همین منظور به تابع $f$ در بازه $\left[ {4,8} \right]$ نزولی گفته میشود.
توابع صعودی و توابع نزولی
تابع $f$ را در مجموعهٔ $(A \subseteq {D_f})A$ صعودی میگوییم، اگر برای هر دو مقدار $a$ و $b$ دز این مجموعه که $a \lt b$، آنگاه $f(a) \leqslant f(b)$. در فاصلهای که یک تابع صعودی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، روبه پایین نخواهیم رفت. نمودارهای زیر همگی مربوط به توابع صعودیاند.
تابع $f$ را در مجموعهٔ $(A \subseteq {D_f})A$ نزولی میگوییم، اگر برای هر دو مقدار $a$ و $b$ از این مجموعه که $a \lt b$، $f(a) \geqslant f(b)$. در فاصلهای که یک تابع نزولی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، روبه بالا نخواهیم رفت. نمودارهای زیر همگی مربوط به توابع نزولیاند.
- تابع $f$ را بر مجموعهٔ $A$ یکنوا گوییم، هرگاه در این مجموعه، صعودی (نزولی) باشد.
- تابع $f$ را در یک مجموعه، ثابت میگوییم، اگر برای تمام مقادیر $x$ در این مجموعهٔ مقدار $f(x)$ ثابت باشد. با توجه به تعاریف بالا،تابع ثابت در یک مجموعه، هم صعودی و هم نزولی محسوب میشود.
توابع اکیداً صعودی و توابع اکیداً نزولی
- تابع $f$ را در یک مجموعه، اکیداً صعودی میگوییم، اگر برای هر دو مقدار $a$ و $b$ در این مجموعه که $a \lt b$، آنگاه $f(a) \lt f(b)$. در فاصلهای که یک تابع اکیداً صعودی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، همواره روبه بالا خواهیم رفت (شکل الف)
- تابع $f$ را در یک مجموعه، اکیداً نزولی میگوییم، اگر برای هر دو مقدار $a$ و $b$ در این مجموعه که $a \lt b$، آنگاه $f(a) \gt f(b)$. در فاصلهای که یک تابع اکیداً نزولی است، با حرکت روی نمودار (از چپ به راست)، همواره روبه پایین خواهیم رفت. (شکل ب)
- به تابعی که در یک مجموعه اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی باشد، اکیداً یکنوا میگوییم.
- مثال: نمودار تابع $f$ در شکل زیر رسم شده است. در فاصله $\left( { - \infty , - 1} \right]$ تابع $f$ ثابت است. همچنین در فاصله $\left[ { - 1,0} \right]$ تابع اکیداً نزولی و در فاصله $\left[ {0, + \infty } \right)$ تابع اکیداً صعودی است.
کار در کلاس (صفحه 17 تا 18 کتاب درسی)
1) نمودار توابع زیر را رسم کنید.
$f(x) = {x^2} + 2x$
$g(x) = {2^{ - x}}$
$h(x) = \left| {x + 2} \right|$
الف) در چه بازههایی این توابع، اکیداً صعودی و در چه بازههایی اکیداً نزولی هستند؟
ب) کدام یک از آنها در تمام دامنه خود، اکیداً یکنوا است؟
نمودار تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
{x^2}\,\,\,\,x \geqslant - 1 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,x < - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ را رسم کنید. در چه فاصلههایی این تابع صعودی و در چه فاصلههایی نزولی است؟
3) الف- اگر تابع $f$ در یک فاصله اکیداً صعودی باشد، آیا صعودی نیز هست؟ چرا؟
ب- اگر تابع $f$ در یک فاصله صعودی باشد، آیا اکیداً صعودی نیز خواهد بود؟ مثال بزنید.
4) الف- فرض کنید تابع $f$ در یک فاصله اکیداً صعودی باشد و $a$ و $b$ متعلق به این فاصله باشند. اگر $f(a) \leqslant f(b)$ نشان دهید که $a \leqslant b$.
ب- اگر $\log (x + 1) \leqslant \log (2x - 3)$، حدود $x$ را بهدست آورید.
تقسیم و بخشپذیری
فعالیت (صفحه 18 کتاب درسی)
با تقسیم چند جملهایها بر یکدیگر آشنا هستید. چند جملهایهای $f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1$ و $p(x) = {x^3} - 2$ را در نظر میگیریم.
الف- $q(x)$ و $r(x)$ به ترتیب خارج قسمت و باقیمانده تقسیم $f(x)$ بر $p(x)$ باشند. نشان دهیدکه $q(x) = x - 3$ و $r(x) = 2x - 5$.
ب- درستی تساوی $f(x) = p(x)q(x) + r(x)$ را بررسی کنید.
اگر $r(x) = 0$ باشد، چند جملهای $f$ بر چندجملهای $p$ بخشپذیر است.
کار در کلاس (صفحه 19 کتاب درسی)
اگر $f(x) = {x^4} - 16$ و $p(x) = x + 2$، نشان دهید که $f(x)$ بر $p(x)$ بخشپذیر است.
فعالیت (صفحه 19 کتاب درسی)
در تقسیم $f(x) = {x^3} + 2$ بر $p(x) = 2x - 1$، $q(x)$ و $r(x)$ به ترتیب خارج قسمت و باقیماندهاند.
الف) نشان دهید که $r(x)$ از درجه صفر است.
ب) با توجه به قضیه تقسیم میتوان نوشت:
$f(x) = (2x - 1)q(x) + r(x)$
اکنون ریشه چند جملهای $p(x) = 2x - 1$ را بهدست آورید و با قرار دادن در رابطه بالا نشان دهید که $r(x) = f(\frac{1}{2})$. بهطور کلی میتوان گفت:
کار در کلاس (صفحه 19 کتاب درسی)
1) باقیمانده تقسیم چند جملهای ${x^3} + x - 2$ را بر $2x + 1$ بهدست آورید.
2) اگر چند جملهای ${x^2} + ax - 2$ بر $x - 2$ بخش پذیر باشد، مقدار $a$ تعیین کنید.
فعالیت (صفحه 20 کتاب درسی)
با اتحادهای زیر از سالهای قبل، آشنا هستید.
${x^3} - {a^3} = (x - a)({x^2} + ax + {a^2})$ و ${x^2} - {a^2} = (x - a)(x + a)$
1) از تقسیم ${x^4} - {a^4}$ بر $x - a$ نشان دهید که:
${x^4} - {a^4} = (x - a)({x^3} + a{x^2} + {a^2}x + {a^3})$
2) آیا $(n \in \mathbb{N}){x^n} - {a^n}$ بر $x - a$ بخشپذیر است؟
3) از تقسیم ${x^n} - {a^n}$ بر $x - a$ نشان دهید که ${x^n} - {a^n}$ بهصورت زیر تجزیه میشود.
${x^n} - {a^n} = (x - a)({x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} + .... + {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}})$
4) چند جملهایهای ${x^5} - 1$ و ${x^6} - 64$ را به کمک اتحاد بالا تجزیه کنید.
کار در کلاس (صفحه 20 کتاب درسی)
1) در اتحاد بالا، اگر $n$ فرد باشد، با تغییر $a$ به $ - a$ اتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
${x^n} + {a^n} = (x + a)({x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} - .... - {a^{n - 2}}x + {a^{n - 1}})$
به کمک این اتحاد، چند جملهای ${x^5} + 1$ را تجزیه کنید.
2) در فعالیت بالا، اگر $n$ زوج باشد، با تغییر $a$ به $ - a$ اتحاد زیر را نتیجه بگیرید.
${x^n} - {a^n} = (x + a)({x^{n - 1}} - a{x^{n - 2}} + {a^2}{x^{n - 3}} - .... - {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}})$
به کمک این اتحاد، چند جملهای ${x^4} - 16$ را طوری تجزیه کنید که $x + 2$ یک عامل آن باشد.
تمرین (صفحه 21 تا 22 کتاب درسی)
1) تابع $f(x) = {(x - 2)^3} + 1$ را در نظر بگیرید.
الف- نمودار تابع $f$ را به کمک نمودار تابع $y = {x^3}$ رسم کنید.
ب- نشان دهید که $f$ وارونپذیر است و نمودار ${f^{ - 1}}$ را رسم کنید.
پ- ضابطه ${f^{ - 1}}$ را بهدست آورید.
2) نمودار توابع $f$، $g$ و $h$ در زیر رسم شدهاند.
الف- تابع $f$ در چه فاصلههایی اکیداً صعودی و در چه فاصلههایی صعودی است؟
ب- تابع $g$ در چه فاصلههایی اکیداً نزولی و در چه فاصلههایی نزولی است؟
پ- تابع $h$ در چه فاصلههای اکیداً نزولی است؟
3) نمودار هر یک از توابع زیر را رسم کنید. کدام یک از آنها در تمام دامنه خود، اکیداً یکنواست؟
$f(x) = \sqrt {2 - x} $ (الف
$g(x) = {2^{ - x}}$ (ب
$h(x) = {\log _2}x$ (پ
4) الف- آیا تابعی وجود دارد که در یک فاصله، هم صعودی و هم نزولی باشد؟
ب- نمودار تابعی را رسم کنید که در هریک از بازههای $( - \infty ,0)$ و $\left[ {0, + \infty } \right)$ اکیداً صعودی باشد ولی در $\mathbb{R}$ اکیداً صعودی نباشد.
5) اگر توابع $f$ و $g$ در یک فاصله اکیداً صعودی باشند، نشان دهید که تابع $f + g$ نیز در این فاصله اکیداً صعودی است. برای تابع $f - g$ چه میتوان گفت؟
6) اگر باقیمانده تقسیم چند جملهای ${x^3} + k{x^2} + 2$ بر $x - 2$ برابر با 6 باشد، $k$ را تعیین کنید.
7) مقادیر $a$ و $b$ را طوری تعیین کنید که چند جملهای ${x^3} + a{x^2} + bx + 1$ بر $x - 2$ و $x + 1$ بخشپذیر باشد.
8) هر یک از چند جملهایهای زیر را برحسب عاملهای خواسته شده تجزیه کنید.
الف) ${x^6} - 1$ با عامل $x - 1$
ب) ${x^6} - 1$ با عامل $x + 1$
پ) ${x^5} + 32$ با عامل $x + 2$
9) الف- فرض کنید تابع $f$ در یک بازه اکیداً نزولی باشد و $a$ و $b$ متعلق به این بازه باشند. اگر $f(a) \leqslant f(b)$ نشان دهید که $a \geqslant b$.
ب- اگر ${(\frac{1}{2})^{3x - 2}} \leqslant \frac{1}{{64}}$، حدود $x$ را بهدست آورید.